Основные тригонометрические тождества представляют собой равенства, устанавливающие связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, и позволяют находить любую из этих тригонометрических функций через известную другую.
Прежде чем доказать основное тригонометрическое тождество,
дадим его формулировку: сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.
Теперь докажем его:
Обратимся к единичной окружности. Пусть начальная точка A(1, 0) после поворота на угол переходит в точку A1. В силу определений синуса и косинуса точка A1 имеет координаты (x,y). Более того, точка A1 лежит на единичной окружности, следовательно, ее координаты должны удовлетворять уравнению единичной окружности, которое имеет вид x2+y2=1. То есть, должно быть справедливо равенство sin2x + cos2x = 12. Этим доказано основное тригонометрическое тождество для любых углов поворота.
Равенство sin2x + cos2x = 12 часто называют теоремой Пифагора в тригонометрии. Поясним этот момент:
Возьмем единичную окружность. Повернем начальную точку A(1, 0) вокруг точки O на угол . Пусть точка A после этого поворота переходит в точку A1(x, y). Опустим из точки A1 перпендикуляр A1H на прямую Ox. Рассмотрим прямоугольный треугольник OA1H. Хорошо видно, что в нем длины катетов A1H и OH равны соответственно модулю ординаты и абсциссы точки A1, то есть, |A1H|=|y| и |OH|=|x|, а длина гипотенузы OA1 равна радиусу единичной окружности, то есть, |OA1|=1. Теорема Пифагора позволяет записать равенство |A1H|2+|OH|2=|OA1|2, которое мы можем переписать как |y|2+|x|2=12 или x2+y2=1. Но по определению и , тогда от равенства x2+y2=1 мы можем перейти к равенству .
Тождества, связывающие тангенс и котангенс с синусом и косинусом одного угла вида и сразу следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Действительно, по определению синус есть ордината y, косинус есть абсцисса x, тангенс есть отношение ординаты к абсциссе, то есть, , а котангенс есть отношение абсциссы к ординате, то есть, .
В заключение этого пункта следует отметить, что тождества и имеют место для всех таких углов , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл. Так формула справедлива для любых , отличных от (иначе в знаменателе будет нуль, а деление на нуль мы не определяли), а формула - для всех , отличных от , где z - любое целое число.